Методика за решаване на задачи

    В преобладаващата част от литературните източници, третиращи проблема за методиката на решаване на математически задачи, се предлага следната система от етапи на тази методика:

Ø Е1. Разбиране и усвояване на условието на задачата.  То включва - осмисляне на разглежданите обекти в задачата, характерните им особености, величини и т.н.; заменяне на някои понятия с техните определения и други целесъобразни преобразувания. Прави се оценка на информацията в задачата, в резултат на което последната се систематизира в три групи – основна, специфична  и излишна информация:

Oсновна информация – информацията, която се съдържа във всяка задача на съответния клас. За нейното обособяване например при текстовите задачи допринасят техните теоретико–множествени модели.

1.    Специфична информация – характерна само за дадената задача, т.е. другите задачи от нейния тип не притежават нейните особености;

2.    Излишна информация – тази, която не допринася и не се използва за откриване на решението.

   Откриването и отделянето на основната, специфичната  и излишната информация в задачата има важно значение.

   Въз основа на общата информация се откриват общи методи за решаване на задачите: първо на базата на основната информация се определя типа на задачата, второ въз основа на типа се определя метода за решаване, характерен за него.

   На базата на специфичната информация се откриват интересни, оригинални решения.

Ø Е2. Изграждане на идея и съставяне на план за решаване на задачата. Тук са възможни две принципно различни ситуации: 

·       задачата е с позната структура – тогава идеята за решаване е известна и трябва само да се конкретизира; 

·       задачата е с непозната структура – тогава за откриване на идеята за решаване се използват различни прийоми. В този случай могат да се дават най-общи указания за подпомагане на решаващия:

1.    Търси се аналогия с познати задачи и използване на същите идеи (активизиране паметта на учениците и умението да се използва собствения опит).

2.    Търси се специфичното в задачата с цел да ни помогне за намиране на решението (общата информация не помага).

3.    Провеждат се разсъждения с помощта на анализ, синтез и комбинации от тях. Прилагането им може да се представи схематично по следния начин. Нека даденото и търсеното в задачата са системи от твърдения, които за улеснение да означим съответно с P и Q.

·       Схема на синтез – тръгва се от известното и се откриват последователно следствия по посока на търсеното:                          P        P₁         P₂       ...       P_k-1    P_k               Q 

·       Схема на анализ на Евклид - тръгва се от неизвестното и се търсят последователно следствия (необходими условия по посока на търсеното), докато се стигне до даденото, след което по обратния път се осъществява синтез:                         

Q  P_k P_k-1      ...        P₂       P₁         P

P         P₁             P₂       ...       P_k-1    P_k         Q

·       Схема на анализ на Пап - тръгва се от търсеното и се търсят последователно достатъчни условия, докато се стигне до даденото:

Q         P_k             P_k-1      ...       P₂         P₁         P 

Разсъжденията по схемата на Пап имат доказателствена стойност, но въпреки това (от методически съображения) решението на задачата се представя по синтетичен начин.

Ø    Е3. Реализиране на плана, оформяне на решението. То трябва да отговаря на следните изисквания: да е вярно, обосновано и пълно.

Ø    Е4. Допълнителна работа по задачата след решението й („поглед назад”). При този етап се разискват такива въпроси: “Винаги  ли може да се реши задачата с приложения метод?”, “Може ли да се реши задачата с други идеи и методи?”, “Кой метод е по-рационален?”. Полезно е съставянето на нови задачи чрез вариране, обобщаване, конкретизиране, аналогия  и др.

Моделът на умствената дейност на субекта, отразяващ етапите на процеса решаване на текстови задачи, схематично се представя така :  

                     Е1 →  Е2 →  Е3  →  Е4.

Нарича се идеален модел на процеса решаване на задачи.

Пример. Да се намери лицето на квадрат, на който обиколката е равна на 36см.

 Е1. Даден е квадрат с обиколка 36см. Знаем, че страните на квадрата имат една и съща дължина и, че обиколката се намира като умножим дължината му с 4. От друга страна, лицето се намира като умножим дължината на страната на себе си. (Това е основната информация.)

 Е2.

1.    Синтез:

Какво можем да намерим от това, че е даден квадрат с обиколка 36см? Отговор – ... дължината на страната му (36см:4=9см).

А какво можем да намерим като знаем дължината на страната на квадрата? Отговор - ... лицето му (9.9=81 (кв.см.)).

2.    Схема на Евклид:

Какво се търси в задачата? Отговор - ... Лицето на квадрата. - Да допуснем, че знаем лицето на квадрата. Какво можем да намерим от това? (каво може да следва от това?) Отговор - ... кое число умножено на себе си е равно на 81? Това е числото 9. Можем да намерим дължината на страната на квадрата. - А какво можем да намерим като знаем дължината на страната на квадрата? Отговор - ... обиколката му (4.9=36).  Пътят на решението на задачата започва от даденото и значи той е обратен на описания път. Решете задачата!            в) Схема на Пап:

Какво се търси в задачата? Отговор - ... Лицето на квадрата. - За да намерим лицето му, какво трябва преди това (е достатъчно) да намерим? Отговор – ... дължината на страната му.  - А достатъчно ли е това, което е дадено за да намерим дължината на страната на квадрата? Отговор - .... да, защото знаем обиколката му, а тя е 4 пъти по-голяма от дължината на страната на квадрата.

Съставете план за намиране на лицето на квадрата по дадена негова обиколка. (Първо намираме дължината на квадрата и след това лицето му.)

Е3. Изпълнение на плана:

36см:4=9см;  9.9=81 (кв.см.).

Отговор – лицето на квадрата е 81 кв.см.

 Е4. Ако се замени числото, което показва колко е обиколката на квадрата с друго число, то:

·       кое от изучените числа може да е то? (4; 8; 12; 16; ... 40.)

·       може ли да приложим същия план? (да, защото условието е същото, само числовите данни са други.)  

      Може ли решението да се запише по друг начин? (да - с един числов израз: (36:4)(36:4)=9.9=81 (кв.см.).)

Съставете обратната задача на дадената и я решете. (Лицето на квадрат е равно на 81. Намерете обиколката му. Решение. Кое число умножено на себе си е равно на 81? Това е числото 9. Намерихме, че дължината на квадрата е 9см. Тогава обиколката му е 4.9см.=36см.)

Съставете по-обща аналогична задача за правоъгълник. И т.н.  Разсъжденията с помощта на анализ, синтез и комбинациите от тях за откриване на решения на задачи съставляват т.нар. общологически методи за решаване на задачи, наречени съответно синтетичен метод, аналитичен метод по схемата на Евклид, аналитичен метод по схемата на Пап и аналитикосинтетичен метод. Те могат да се прилагат за търсене и откриване на решения на всякакви задачи. Друг общологически метод, който се изпозва при решаване на задачи за доказване на твърдения е т.нар. „Метод на отрицанието”, основаващ се на правилото. 

Наред с общологически методи се използват и т.нар. частноматематически методи за решаване на задачи. Такива са например „Метода на непосредствената проверка” (метода на изчерпващите проби), „Метода на обратните операции” и др.

Основните стъпки на „Метода на непосредствената проверка” при търсене на решение на т.нар. задачи от отворен тип, са както следва:

1.   Идентифициране на областта на решенията на задачата, както и ограниченията за неизвестното (търсеното), заложени в нейното условие.

2.   Последователно използване на тези ограничения  или на част от тях за подбор с цел «номиниране» за евентуални решения на задачата, на елементи или на множества от елементи от областта на решения.  

3.   Проверяване кои от тези елементи или множества от елементи (поотделно или по групи със сходни свойства) удовлетворяват всички компоненти на условието на задачата и следователно съставляват нейното решение. 

Посочените стъпки на метода ще илюстрираме с помощта на следната: 

Задача 1. Математикът Иванов срещнал случайно колегата си Петров, с когото не се е виждал от много години. «Имам вече три сина», - гордо заявил Петров. «На каква възраст са твоите момчета?» - поинтересувал се Иванов. «Сборът от годините им е 13, а произведението им – 36. Отгатни, нали си математик» - ехидно отговорил Петров. «Тази информация не ми е достатъчна за да определя годините на твоите момчета» - смутено признал Иванов след минута размишление. «Да, забравих да ти кажа, че косите на най-големия ми син са рижи», - съобщил ценното сведение Петров. «Е, сега всичко разбрах!» - зарадвал се Иванов и веднага правилно посочил възрастта на всяко от трите деца. На каква възраст са синовете на Петров?

Решение. 1. Разкриване областта на решенията на задачата и ограниченията за търсеното в нея. Областта на решенията на задачата е множеството от наредените във възходящ или низходящ ред тройки естествени числа, а ограниченията – сборът на компонентите на тройките, които са решения на задачата е равен на 13, а произведението – на 36. 

2.                  Подбор на тройките числа, удовлетворяващи ограниченията. Предвид равенството 36 = 1.2.2.3.3, второто ограничение се удовлетворява от наредените тройки (1, 2, 18), (1, 4, 9), (1, 3, 12), (1, 6, 6), (2, 2, 9), (2, 3, 6), (3, 3, 4). От тях само тройките (1, 6, 6), (2, 2, 9) изпълняват и първото ограничение и следователно точно една от тях е търсеното решение.

3.                  Проверяване коя от тези тройки удовлетворява всички условия на задачата. Забелязва се, че при тройката (1, 6, 6) Петров има най-малък син, но няма най-голям, а при тройката (2, 2, 9) – има най-голям син, но няма най-малък. Допълнително даденото от него сведение (макар и да прави задачата преопределена, защото информацията за наличие на рижи коси е неизползваема) наистина се оказва ценно, защото то посочва съществуването на най-голям син, а това условие се удовлетворява само от втората тройка, която се явява и решението на задачата (отг. (2, 2, 9)). 

Задача 2. В клетка има кокошки и зайци. Преброих главите им – оказаха се 5, а краката им 14. Колко са кокошките?

Методът на непосредствената проверка (наречен още «проба - грешка») има следните по-важни предимства:

1.    Счита се за вроден метод на мислене у човека, поради което

не изисква много време и средства за обучение.

2.    Намирането на решенията, се характеризира с методическа

простота. 

3.    Удовлетворително се решават не сложни задачи, изискващи не повече от 10 проби и грешки, при това в редица случаи преглеждането на вариантите на възможните отговори леко се осъществява „на ръка”.

4.    „Известни са сериозни задачи, които математиците не могат

да решат по друг начин, освен чрез този метод.” 

Недостатък на метода «проба - грешка» е, че трудно се прилага при решаване на задачи със средна сложност (повече от 20-30 пробвания), а при още по-сложни задачи или при задачи със сравнително висока степен на проблемност изисква много поголеми загуби на време и волеви усилия.

За решаване на логически задачи от определени видове, е добре «ограниченията» в условието им да се отразяват компактно в една таблица, след което да се приложат знанията за верностните стойности на логическите операции, най-вече – за изключващата (алтернативната) дизюнкция. Например: 

Задача 3. Имам четирима приятели: Сашо, Мишо, Иван и Чавдар. Веднаж ги попитах къде живеят. Те ми отговориха различно: 

Сашо: Аз не живея нито в Габрово, нито в Плевен, нито в Несебър.

Мишо: Аз не живея в Плевен, нито в Несебър.

Иван: Аз не живея в Несебър.

Чавдар: Ние сме от градовете Плевен, Несебър, София и Габрово.

Като знаете, че четирите момчета живеят в различни градове, запишете тази информация в таблицата по-долу чрез знака «-», «не живее» и чрез знака «+», «живее», за да установите кой къде живее. 

 

	Габрово	Плевен	Несебър	София
Сашо	-	+	-	-
Мишо	-	-	-	+
Иван	-	-	+	-
Чавдар	+	-	-	-

 

Задача 4. В математическо състезание участвали четирима приятели: Андрей, Благой, Венци и Гошо. След отчитане на резултатите се оказало, че Венци се класирал на следващото място след Гошо, но не бил пред Благой. Андрей бил след Венци. Четиримата заели първите четири места в класирането. Посочете името на победителя и на заелия второто място.

Методът на обратните операции се прилага за решаване на задачи, при които над неизвестното се извършват последователно дадени в условието операции, като е посочен и крайния резултат. Тогава тръгвайки от него и извършвайки обратните операции на дадените намираме стойността на неизвестното число. Например:

Задача 5. От кошница със сливи една жена взела половината и още една, друга жена взела половината от останалите и още една и трета жена взела половината от последните останали и още три сливи, след което в кошницата не останали никакви сливи. Колко са били сливите в кошницата?   Решение:

... 30	:2	15	-1	14	:2	7	-1	6	:2	3	-3	0 0
	.2		+1		.2		+1		.2		+3

 

Задача 6. Ана попитала баща си на колко е години. Той й отговорил: ако увеличиш моите години с числото 20 и полученото число разделиш на 7, ще получиш 8. Познай на колко съм години.